Groupe de Galois de certains corps de classes

Let K = k( √ −nε0 √ l) where ε0 is the fundamental unit of k = Q( √ l) with l a prime number congruent to 5 or 2 modulo 8, n is an integer prime to l, square free such that C2,K, the 2-class group of K, is isomorphic to Z/2Z × Z/2Z and the genus field K(∗) of K coincides with the first Hilbert 2-class field K 2 of K and let G2 be the Galois group of K 2 /K where K (2) 2 is the second Hilbert 2-class field of K. In this paper, we are interested in the problem of capitulation of the classes of C2,K in the quadratic sub-fields of K 2 /K and to determine the structure of G2. Soient K = k( √ −nε0 √ l) o ε0 est l’unit fondamentale de k = Q( √ l) avec l un nombre premier congru 5 ou 2 modulo 8, n est un entier naturel premier l, sans facteur carr tels que C2,K, le 2-groupe de classes de K, est isomorphe Z/2Z×Z/2Z et le corps de genres K(∗) de K concide avec le premier 2-corps de classes de Hilbert K 2 de K et soit G2 le groupe de Galois de K 2 /K o K (2) 2 est le deuxime 2-corps de classes de Hilbert de K. Dans ce papier, on s’intresse au problme de capitulation des classes de C2,K dans les sous-corps quadratiques de K 2 /K et dterminer la structure de G2.